什麼是貝爾數？
貝爾數是指在組合數學中，表示將 \(n \) 個元素劃分為若干個非空子集的方式總數。第 \(n \) 個貝爾數用 \(b(n) \) 表示，貝爾數在組合和數論中有著重要的應用。
貝爾數的計算
貝爾數可以通過遞歸關係或直接計算其值。貝爾數的計算公式為：
\( B(0) = 1 \)
對於 \( n \geq 1 \)，有以下遞推關係：
\( B(n) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} B(k) \)
其中，\( \binom{n-1}{k} \) 是二項式係數，表示從 n - 1 個元素中選擇 k 個元素的組合數。
示例
例子 1：計算貝爾數 8 有多少種方法？
解答：
計算 \( B(8) \)
\( B(8) = 877 \)
共有 877 種方法。
例子 2：將 10 個元素的集合分成子集共有多少種分法？
解答：
計算 \( B(10) \)
\( B(10) = 115975 \)
共有 115975 種方法。
貝爾數的前 30 項
- B(0) = 1
- B(1) = 1
- B(2) = 2
- B(3) = 5
- B(4) = 15
- B(5) = 52
- B(6) = 203
- B(7) = 877
- B(8) = 4140
- B(9) = 21147
- B(10) = 115975
- B(11) = 678570
- B(12) = 4213597
- B(13) = 27644437
- B(14) = 190899322
- B(15) = 1382958545
- B(16) = 10480142147
- B(17) = 82864869804
- B(18) = 682076806159
- B(19) = 5832742205057
- B(20) = 51724158235372
- B(21) = 474869816156751
- B(22) = 4506715738447323
- B(23) = 44152005855084346
- B(24) = 445958869294805289
- B(25) = 4638590332229999353
- B(26) = 49631246523618756274
- B(27) = 545717047936059989389
- B(28) = 6160539404599934652455
- B(29) = 71339801938860275191172