餘割計算器

什麼是餘割

餘割函數（Cosecant function）通常用符號 \(\csc(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度為單位。

在直角三角形中，餘割函數定義為角度 \(\theta\) 的 斜邊與對邊 之比： \( \csc(\theta) = \frac{\text{斜邊}}{\text{對邊}} = \frac{c}{a} \) 即餘割函數表示一個角度的斜邊與對邊的比值。

在單位圓中，餘割函數定義為單位圓上對應角度 \(\theta\) 的點的斜邊與縱座標的比值： \( \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} \) 即餘割函數是正弦函數的倒數。

示例

例子 1：通過直角三角形計算餘割值

假設有一個直角三角形，其中一個銳角 \(\theta = 30^\circ\)，對邊的長度為 5，斜邊的長度為 10，求對應的餘割值。

示例 2：實際應用中的餘割值計算

假設你在計算一個山坡的坡度，該坡度的角度為 \(\theta = 60^\circ\)，要求計算對應的餘割值。

餘割圖形和性質

餘割函數的圖形是週期性波動的，並且在每個週期內有垂直漸近線。餘割圖形具有以下特性：

• 週期性：餘割函數的週期為 \(2\pi\)（即 360°），即每 \(2\pi\) 弧度圖形重複一次。
• 奇函數：餘割函數是奇函數，即 \(\csc(-\theta) = -\csc(\theta)\)，這意味著餘割函數關於原點對稱。
• 振幅：餘割函數的振幅是無限的，餘割值可以從負無窮大增長到正無窮大。
• 漸近線：在 \(\theta = n\pi\) 處（其中 \(n\) 是整數），餘割函數有垂直漸近線，即函數值趨向於無窮大或負無窮大。
• 定義域和值域：餘割函數的定義域為所有角度 \(\theta\)（除了 \(n\pi\)，其中 \(n\) 是整數），值域為 \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\)。

餘割函數的象限特性

餘割函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，餘割值為正，且隨著角度的增加從無窮大遞減到 1。
• 在第二象限，餘割值為正，且隨著角度的增加從1 增加到無窮大。
• 在第三象限，餘割值為負，且隨著角度的增加從負無窮大增加到 -1。
• 在第四象限，餘割值為負，且隨著角度的增加從 -1 遞減到負無窮大。

餘割函數的其它計算

1. 餘割的倒數（正弦函數）

餘割函數的倒數是正弦函數（sine，記作 \(\sin(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\csc(\theta)} = \sin(\theta) \) 當 \(\csc(\theta) = 0\) 時，正弦函數無定義。

2. 餘割的導數

餘割函數的導數是餘割函數和餘切函數的乘積，即： \( \frac{d}{d\theta} \csc(\theta) = -\csc(\theta) \cot(\theta) \)

3. 餘割的積分

餘割函數的積分是： \( \int \csc(\theta) \, d\theta = -\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C \)

4. 反餘割函數（arccsc）

反餘割函數（arccosecant，記作 \(\text{arccsc}(x)\)）用於求解給定餘割值對應的角度，即： \( \theta = \text{arccsc}(x) \) 其中 \(x\) 為餘割值。

餘割函數常用值表