餘弦計算器

餘弦的定義

餘弦函數是三角函數中的基本函數之一，常用於描述週期性變化。在直角三角形中，角度 \(\theta\) 的餘弦值定義為： \( \cos(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} = \frac{b}{c} \) 其中，鄰邊是指與角度 \(\theta\) 相鄰的那條邊，而斜邊是直角三角形的最長邊。

在單位圓中，餘弦函數的定義則是與角度 \(\theta\) 對應的點的 \(x\)-座標。因此，在單位圓中，餘弦函數可以表達為： \( \cos(\theta) = x \) 其中 \(x\) 是單位圓上與角度 \(\theta\) 對應點的橫座標。

示例

例子 1：通過直角三角形計算餘弦值

假設有一個直角三角形，其中一個銳角 \(\theta = 60^\circ\)，鄰邊的長度為 4，斜邊的長度為 8，求對應的餘弦值。

例子 2：實際應用中的餘弦值計算

假設在一項物理實驗中，一個物體沿斜面滑動，角度 \(\theta = 30^\circ\)，並且斜面的長度為 10 米，要求計算該物體的水平分量。

餘弦圖形和屬性

餘弦函數的圖形是一個週期性的波形，與正弦函數類似，但它的波形從最大值開始，而正弦函數從零開始。餘弦函數的圖形呈現出一個平滑的波動，且每隔 \(2\pi\) 重複一次。

餘弦波的特點：

• 週期性：餘弦函數的週期是 \(2\pi\)（即 360°），\(\cos(\theta + 2\pi) = \ cos(\theta)\)。
• 對稱性：餘弦函數是偶函數，即 \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)，這意味著它關於 \(y\)-軸對稱。
• 奇偶性：由於 \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\)，所以，餘弦函數是偶函數。
• 單調性：在每個週期的半段內，餘弦函數是單調遞減或遞增的。例如，在區間 \([0, \pi]\) 內，餘弦函數從 1 遞減到 -1；而在區間 \([\pi, 2\pi]\) 內，餘弦函數從 -1 遞增到 1。
• 振幅：餘弦函數的振幅為 1，表示函數的最大值為 1，最小值為 -1。
• 起始點：餘弦函數的圖形在 \(\theta = 0\) 時的值為 1，表示它的波形從最大值開始。
• 定義域和值域：餘弦函數的定義域是所有實數 \(\mathbb{R}\)，值域為 \([-1, 1]\)。

餘弦函數的象限特性（Quadrant Properties）

餘弦函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，餘弦值為正，且隨著角度的增加從 1 遞減到 0。
• 在第二象限，餘弦值為負，隨著角度的增加，餘弦值從 0 遞減到 -1。
• 在第三象限，餘弦值為負，且隨著角度的增加從 -1 遞增到 0。
• 在第四象限，餘弦值為正，隨著角度的增加，從 0 遞增到 1。

餘弦的其它計算

1. 餘弦的倒數（正割函數）

餘弦函數的倒數是正割函數（secant，記作 \(\sec(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\cos(\theta)} = \sec(\theta) \) 當 \(\cos(\theta) = 0\) 時，正割函數無定義。

2. 餘弦的導數（負正弦函數）

餘弦函數的導數是負正弦函數，即： \( \frac{d}{d\theta} \cos(\theta) = -\sin(\theta) \) 在物理學和工程學中，導數用於描述變化率，比如在振動和波動問題中。

3. 餘弦的積分

餘弦函數的積分是正弦函數： \( \int \cos(\theta) \, d\theta = \sin(\theta) + C \) 積分可以用於計算面積或累積變化量。

4. 反餘弦函數（arccos）

反餘弦函數（arccosine，記作 \(\arccos(x)\)）用於計算給定餘弦值對應的角度。反餘弦函數的定義域是 \([-1, 1]\)，值域是 \([0, \pi]\)，即： \( \theta = \arccos(x) \) 其中 \(x\) 為餘弦值。

餘弦常用值表