餘切計算器

餘切定義和公式

餘切函數（Cotangent function）是三角函數中的一種，通常用符號 \(\cot(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度為單位。

在直角三角形中，餘切函數定義為角度 \(\theta\) 的 鄰邊與對邊 之比： \( \cot(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{對邊}} = \frac{b}{a} \) 即餘切函數表示一個角度的水平與垂直分量之比。

在單位圓中，餘切函數定義為單位圓上對應角度 \(\theta\) 的點的橫座標與縱座標的比值： \( \cot(\theta) = \frac{x}{y} \) 其中，\(x\) 和 \(y\) 是單位圓上與角度 \(\theta\) 對應點的橫縱座標。

示例

例子 1：通過直角三角形計算餘切值

假設有一個直角三角形，其中一個銳角 \(\theta = 45^\circ\)，對邊的長度為 6，鄰邊的長度為 6，求於餘切值。

例子 2：實際應用中的餘切值計算

假設你正在觀察一座 50 米高的燈塔，並且你與燈塔的水平距離為 80 米，要求你與燈塔之間的角度 \(\theta\)。

餘切圖形和屬性

餘切函數的圖形呈現出週期性的波動，並且在每個週期中有豎直漸近線。餘切圖形具有以下特性：

• 週期性：餘切函數的週期為 \(\pi\)（即 180°），即每 \(\pi\) 弧度圖形重複一次。
• 單調性：餘切函數在每個週期內是單調遞減的。
• 偶函數：餘切函數是偶函數，即 \(\cot(-\theta) = \cot(\theta)\)，這意味著餘切函數關於 \(y\)-軸對稱。
• 振幅：餘切函數的振幅是無限的，餘切值可以從負無窮大增長到正無窮大。
• 漸近線：在 \(\theta = n\pi\) 處（其中 \(n\) 是整數），餘切函數有豎直漸近線，即函數值趨向於無窮大或負無窮大。
• 定義域和值域：餘切函數的定義域是所有角度 \(\theta\)（除了 \(n\pi\)），值域為 \(\mathbb{R}\)（所有實數）。

餘切函數的象限特性

餘切函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，餘切值為正，且隨著角度的增加從無窮大遞減到 0。
• 在第二象限，餘切值為負，且隨著角度的增加從 0 遞減到負無窮大。
• 在第三象限，餘切值為正，且隨著角度的增加從無窮大遞減到 0。
• 在第四象限，餘切值為負，且隨著角度的增加從 0 遞減到負無窮大。

餘切的其它計算

1. 餘切的倒數（正切函數）

餘切函數的倒數是正切函數（tangent，記作 \(\tan(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\cot(\theta)} = \tan(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} \) 當 \(\cot(\theta) = 0\) 時，正切函數無定義。

2. 餘切的導數

餘切函數的導數是負的正割函數的平方，即： \( \frac{d}{d\theta} \cot(\theta) = -\sec^2(\theta) \) 這一性質在微積分中非常重要，尤其是在解析函數變化率時。

3. 餘切的積分

餘切函數的積分是對數函數： \( \int \cot(\theta) \, d\theta = \ln|\sin(\theta)| + C \)

4. 反餘切函數（arccot）

反餘切函數（arccotangent，記作 \(\text{arccot}(x)\)）用於求解給定餘切值對應的角度。反餘切函數的定義域為所有實數，值域為 \((0, \pi)\)，即： \( \theta = \text{arccot}(x) \) 其中 \(x\) 為餘切值。

餘切常用值表