等比序列計算器

輸入第一項值、公比和第N項,計算第N項的值和等比序列的總和。

計算等比序列的第N項值與總和

第N項值

總和

什麼是等比序列?

等比序列是一種數列,其中任意兩項之間的比值是固定的,稱為公比。

如何計算等比序列的第n項值?

等比序列的第n項可以用公式表示為:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n - 1)} \)

其中:

  • \( a_n \) 是第N項的值
  • \( a_1 \) 是第一項的值
  • \( r \) 是公比
  • \( n \) 是項數

如何計算等比序列的前n項和?

等比序列的總和可以通過以下公式計算(當公比 \( r \neq 1 \) 時):

\( S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r} \)

當公比為1時,總和為:

\( S_n = n \cdot a_1 \)

示例

例子 1:已知等比序列的首項為3,公比為2,計算第5項及總和。

解答:

計算第5項:

\( a_5 = 3 \cdot 2^{(5 - 1)} = 3 \cdot 16 = 48 \)

計算總和:

\( S_5 = \frac{3 \cdot (1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3 \cdot (1 - 32)}{-1} = \frac{3 \cdot (-31)}{-1} = 93 \)

例子 2:已知等比序列的首項為10,公比為5,計算第6項及總和。

解答:

計算第6項:

\( a_6 = 10 \cdot 5^{(6 - 1)} = 10 \cdot 3125 = 31250 \)

計算總和:

\( S_6 = \frac{10 \cdot (1 - 5^6)}{1 - 5} = \frac{10 \cdot (1 - 15625)}{-4} = \frac{10 \cdot (-15624)}{-4} = 39060 \)

例子 3:已知等比序列的首項為12,公比為-2,計算第8項及總和。

解答:

計算第8項:

\( a_8 = 12 \cdot (-2)^{(8 - 1)} = 12 \cdot (-128) = -1536 \)

計算總和:

\( S_8 = \frac{12 \cdot (1 - (-2)^8)}{1 - (-2)} = \frac{12 \cdot (1 - 256)}{3} = \frac{12 \cdot (-255)}{3} = -1020 \)