梅森數計算器

輸入一個數字,判斷是否為梅森數;輸入起止範圍生成範圍內所有梅森數。

梅森數判斷或生成

什麼是梅森數?

梅森數又稱麥森數,是形如 \(M_n = 2^n - 1\) 的數,其中 \(n\) 是正整數。梅森數以法國數學家馬賽爾·梅森(Marin Mersenne)的名字命名,梅森數在數論和密碼學中有重要的應用。

如何判斷一個數是否為梅森數?

判斷公式

一個數 \(x\) 是梅森數若且唯若存在一個正整數 \(n\),使得 \(x = 2^n - 1\)。

計算步驟

  1. 對於給定的數字 \(x\),首先加1,得到 \(x + 1\)。
  2. 然後檢查 \(x + 1\) 是否為2的冪,即檢查 \(x + 1\) 是否可以表示為 \(2^n\) 的形式。

示例

例子 1:判斷 31 是否為梅森數

解答:

31 + 1 = 32

32 = \(2^5\)(32 是 2 的冪)

因此,31 是梅森數。

例子 2:判斷 255 是否為梅森數

解答:

255 + 1 = 256

256 是 2 的冪(\(2^8 = 256\)

所以,255 是梅森數。

例子 3:判斷 10 是否為梅森數

解答:

10 + 1 = 11

11 不是 2 的冪(\(2^3 = 8\),\(2^4 = 16\))

因此,10 不是梅森數。