根據兩個數的差與平方和找數

輸入兩個數的差與平方和，快速計算出這兩個數。

如何根據兩個數的差與平方和計算

假設兩個數為 \( x \) 和 \( y \)，已知它們的差 \( D \) 與平方和 \( P \)。

表達式如下： \( x - y = D \quad \text{和} \quad x^2 + y^2 = P \)
用關係式表達： \( x = y + D \)
將 \( x \) 代入平方和表達式： \( (y + D)^2 + y^2 = P \)
展開並整理： \( y^2 + 2Dy + D^2 + y^2 = P \)
合併同類項並解二次方程： \( 2y^2 + 2Dy + D^2 - P = 0 \) \( y^2 + Dy + \frac{D^2 - P}{2} = 0 \)
解此二次方程，求出 \( y \)： \( y = \frac{-D \pm \sqrt{D^2 - 2(D^2 - P)}}{2} \)
通過 \( x = y + D \) 計算 \( x \)。

解答：

1. 解二次方程：

\( y^2 + 2y + \frac{2^2 - 52}{2} = 0 \)，即 \( y^2 + 2y - 24 = 0 \)。

2. 判別式：

\( \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)} = \sqrt{4 + 96} = \sqrt{100} = 10 \)。

3. 解出根：

\( y = \frac{-2 \pm 10}{2} = 4 \text{ 或 } -6 \)

4. 計算 \( x \)：

\( x = y + 2 \)，得到 \( x = 6 \) 或 \( -4 \)。

結果：兩個數為 (6, 4) 或 (-4, -6)。

解答：

1. 解二次方程：

\( y^2 + 11y + \frac{11^2 - 145}{2} = 0 \)，即 \( y^2 + 11y - 12 = 0 \)。

2. 判別式：

\( \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)} = \sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13 \)。

3. 解出根：

\( y = \frac{-11 \pm 13}{2} = 1 \text{ 或 } -12 \)

4. 計算 \( x \)：

\( x = y + 11 \)，得到 \( x = 12 \) 或 \( -1 \)。

結果：兩個數為 (12, 1) 或 (-1, -12)。