根據兩個數的最大公約數與最小公倍數找數

輸入兩個數的最大公約數與最小公倍數，快速計算這兩個數。

根據最大公約數與最小公倍數計算

結果

如何根據兩個數的最大公約數與最小公倍數快計算

假設這兩個數為 \( x \) 和 \( y \)，已知它們的最大公約數為 \( \text{HCF} \) 和最小公倍數為 \( \text{LCM} \)。

推導步驟：

1. 利用 HCF 和 LCM 的關係

根據兩個數的基本性質，有以下關係： \( x \times y = \text{HCF} \times \text{LCM} \) 用 \( P \) 表示 \( x \times y \) 的積： \( P = \text{HCF} \times \text{LCM} \)

2. 設互質比值

設 \( x = \text{HCF} \times a \) 和 \( y = \text{HCF} \times b \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是互質整數（即它們的最大公約數為1）。因此可以得到： \( a \times b = \frac{P}{\text{HCF}^2} = \frac{\text{HCF} \times \text{LCM}}{\text{HCF}^2} = \frac{\text{LCM}}{\text{HCF}} \)

3. 確定整數對 \( a \) 和 \( b \)

根據上式中計算出的值，找到滿足 \( a \times b = \frac{\text{LCM}}{\text{HCF}} \) 的互質整數對 \( (a, b) \)。

4. 計算 \( x \) 和 \( y \)

將求出的互質數 \( a \) 和 \( b \) 與 HCF 相乘，得到 \( x \) 和 \( y \)： \( x = \text{HCF} \times a \) \( y = \text{HCF} \times b \)

示例

例子 1：已知兩個數的最大公約數為 179，最小公倍數為 2685，求這兩個數。

解答：

1. 計算兩個數的積 \( P \)：

\( P = \text{HCF} \times \text{LCM} = 179 \times 2685 = 480015 \)

2. 計算 \( a \times b \)：

\( a \times b = \frac{\text{LCM}}{\text{HCF}} = \frac{2685}{179} = 15 \)

3. 計算互質數：

找到滿足 \( a \times b = 15 \) 且互質的整數對，分解 15 的因數對：(1, 15) 和 (3, 5)，它們都是互質。

4. 計算 \( x \) 和 \( y \)：

\( x_1 = 179 \times 1 = 179 \)

\( y_1 = 179 \times 15 = 2685 \)

\( x_2 = 179 \times 3 = 537 \)

\( y_2 = 179 \times 5 = 895 \)

結果：這兩個數是 (179, 2685) 或 (537, 895)。

例子 2：已知兩個數的最大公約數為 11，最小公倍數為 7700，求這兩個數。

解答：

1. 計算兩個數的積 \( P \)：

\( P = \text{HCF} \times \text{LCM} = 11 \times 7700 = 84700 \)

2. 計算 \( a \times b \)：

\( a \times b = \frac{\text{LCM}}{\text{HCF}} = \frac{7700}{11} = 700 \)

3. 計算互質數：

找到滿足 \( a \times b = 700 \) 且互質的整數對，分解 700 的因數對：

(1, 700)
(2, 350)
(4, 175)
(5, 140)
(7, 100)
(10, 70)
(14, 50)
(20, 35)
(25, 28)

其中，互質的因數對有：(1, 700), (4, 175), (7, 100), (25, 28)。

4. 計算 \( x \) 和 \( y \)：

\( x_1 = 11 \times 1 = 11 \)

\( y_1 = 11 \times 700 = 7700 \)

\( x_2 = 11 \times 4 = 44 \)

\( y_2 = 11 \times 175 = 1925 \)

\( x_3 = 11 \times 7 = 77 \)

\( y_3 = 11 \times 100 = 1100 \)

\( x_4 = 11 \times 25 = 275 \)

\( y_4 = 11 \times 28 = 308 \)

結果：這兩個數是 (11, 7700), (44, 1925), (77, 1100) 或 (275, 308)。