根據兩個數的和與最大公約數找數

輸入兩個數的和與最大公約數，快速計算這兩個數。

根據兩個數的和與最大公約數計算

結果

如何根據兩個數的和與最大公約數計算

假設這兩個數為 \( x \) 和 \( y \)，已知它們的和為 \( S \) 和最大公約數為 \( \text{HCF} \)。

推導步驟：

1. 最大公約數概念

設 \( x = k \times a \) 和 \( y = k \times b \)，其中 \( k \) 為最大公約數 \( \text{HCF} \)，\( a \) 和 \( b \) 是互質的整數，即它們的最大公約數為1，且 \( x \) 和 \( y \) 的和為： \( x + y = k \times (a + b) = S \)

2. 求比例係數 \( k \)

根據和 \( S \) 以及最大公約數 \( \text{HCF} \)，可以得出比例係數 \( k \) 為： \( k = \text{HCF} \)

3. 求解互質數 \( a \) 和 \( b \)

由於 \( S = k \times (a + b) \)，可得： \( a + b = \frac{S}{\text{HCF}} \)

找到符合 \( a + b \) 且互質的兩個整數 \( a \) 和 \( b \)。

4. 計算 \( x \) 和 \( y \)

通過比例係數 \( k \) 乘以 \( a \) 和 \( b \) 得到 \( x \) 和 \( y \) 的值： \( x = k \times a \) \( y = k \times b \)

如何找到互質的整數對：

分解整數對：列出所有可能使得 \( a + b \) 的整數對。例如，當 \( a + b = 6 \) 時，可能的組合是 \( (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) \)。
檢查互質條件：驗證每個對是否互質。互質指的是，兩個數沒有公因數，除了1。例如，當 \( a = 1, b = 5 \) 時，它們的公因數是1，符合要求；但如果 \( a = 2, b = 4 \)，則不互質（因為它們的最大公因數為2），不符合要求。

示例

例子 1：已知兩個數的和為 135，最大公約數為 27，求這兩個數。

解答：

1. 確定比例係數 \( k \) ：

\( k = HCF = 27 \)

2. 計算 \( a + b \)：

\( a + b = \frac{135}{27} = 5 \)

3. 找到互質的整數對：

滿足 \( a + b = 5 \) 且互質的整數對有：\( (1, 4) \) 和 \( (2, 3) \)。

4. 代入，計算 \( x \) 和 \( y \)：

\( x_1 = 27 \times 1 = 27 \)

\( y_1 = 27 \times 4 = 108 \)

\( x_2 = 27 \times 2 = 54 \)

\( y_2 = 27 \times 3 = 81 \)

結果：這兩個數是 \( (27, 108) \) 或 \( (54, 81) \)。

例子 2：已知兩個數的和為 629，最大公約數為 37，求這兩個數。

解答：

1. 確定比例係數 \( k \) ：

\( k = HCF = 37 \)

2. 計算 \( a + b \)：

\( a + b = \frac{629}{37} = 17 \)

3. 找到互質的整數對：

滿足 \( a + b = 17 \) 且互質的整數對有：

\( (1, 16) \)

\( (2, 15) \)

\( (3, 14) \)

\( (4, 13) \)

\( (5, 12) \)

\( (6, 11) \)

\( (7, 10) \)

\( (8, 9) \)

4. 代入，計算 \( x \) 和 \( y \)：

\( x_1 = 37 \times 1 = 37 \)

\( y_1 = 37 \times 16 = 592 \)

\( x_2 = 37 \times 2 = 74 \)

\( y_2 = 37 \times 15 = 555 \)

…

\( x_8 = 37 \times 8 = 296 \)

\( y_8 = 37 \times 9 = 333 \)

結果：滿足條件的兩個數有可能為：(37, 592), (74, 555), (111, 518), (148, 481), (185, 444), (222, 407), (259, 370), (296, 333)。