根據兩個數的和與倒數和找數

輸入兩個數的和與倒數和，快速計算這兩個數。

如何根據兩個數的和與倒數和快速計算

假設兩個數為 \( x \) 和 \( y \)，已知它們的和 \( S \) 和倒數和 \( R \)。

初始公式如下：兩數之和：\( x + y = S \) 倒數和：\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = R\)
展開倒數和公式： \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} \) 因此我們可以寫為： \( R = \frac{S}{xy} \)
解出 \(xy\)： \( xy = \frac{S}{R} \)
利用和積公式，可以構建二次方程： \( t^2 - (x + y)t + xy = 0 \) 將 \(x + y = S\) 和 \(xy = \frac{S}{R}\) 代入，得到方程： \( t^2 - St + \frac{S}{R} = 0 \)
使用二次方程的求解公式，解出 \(x\) 和 \(y\)： \( t = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4 \cdot \frac{S}{R}}}{2} \) 從而得到 \(x\) 和 \(y\) 的值。

解答：

1. 計算 \(xy\)：

\( xy = \frac{S}{R} = \frac{8}{\frac{8}{15}} = 15 \)

2. 構建二次方程：

\( t^2 - 8t + 15 = 0 \)

3. 求解 \(x\) 和 \(y\)：

\( t = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \times 15}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \)

解得 \(x = 5\) 和 \(y = 3\)。

結果：這兩個數是 5 和 3。

解答：

1. 計算 \(xy\)：

\( xy = \frac{S}{R} = \frac{11}{\frac{11}{28}} = 28 \)

2. 構建二次方程：

\( t^2 - 11t + 28 = 0 \)

3. 求解 \(x\) 和 \(y\)：

\( t = \frac{11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \times 28}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} = \frac{11 \pm 3}{2} \)

解得 \(x = 7\) 和 \(y = 4\)。

結果：這兩個數是 7 和 4。

解答：

1. 計算 \(xy\)：

\( xy = \frac{S}{R} = \frac{15}{\frac{3}{10}} = 50 \)

2. 構建二次方程：

\( t^2 - 15t + 50 = 0 \)

3. 求解 \(x\) 和 \(y\)：

\( t = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \times 50}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2} = \frac{15 \pm 5}{2} \)

解得 \(x = 10\) 和 \(y = 5\)。

結果：這兩個數是 10 和 5。