正割計算器

正割定義和公式

正割函數（Secant function）是三角函數中的一種，通常用符號 \(\sec(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度為單位。

在直角三角形中，正割函數定義為角度 \(\theta\) 的 斜邊與 鄰邊 之比： \( \sec(\theta) = \frac{\text{斜邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{c}{b} \) 即正割函數表示一個角度的斜邊與鄰邊的比值。

在單位圓中，正割函數定義為單位圓上對應角度 \(\theta\) 的點的斜邊與橫座標的比值： \( \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} \) 即正割函數是餘弦函數的倒數。

示例

例子 1：通過直角三角形計算正割值

假設有一個直角三角形，其中一個銳角 \(\theta = 60^\circ\)，鄰邊的長度為 2，斜邊的長度為 4，計算這個角的正割值。

例子 2：實際應用中的正割值計算

假設你在計算一個斜坡的坡度，該坡度的角度為 \(\theta = 30^\circ\)，要求計算其正割值。

正割圖形和性質

正割函數的圖形是周期性波動的，並且在每個周期內有垂直漸近線。正割圖形具有以下特性：

• 周期性：正割函數的周期為 \(2\pi\)（即 360°），即每 \(2\pi\) 弧度圖形重複一次。
• 偶函數：正割函數是偶函數，即 \(\sec(-\theta) = \sec(\theta)\) ，這意味著正割函數關於 \(y\)-軸對稱。
• 振幅：正割函數的振幅是無限的，正割值可以從負無窮大增長到正無窮大。
• 漸近線：在 \(\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi\) 處（其中 \(n\) 是整數），正割函數有垂直漸近線，即函數值趨向於無窮大或負無窮大。
• 定義域和值域：正割函數的定義域為所有角度 \(\theta\)（除了 \(\frac{\pi}{2} + n\pi\)，其中 \(n\) 是整數），值域為 \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\)。

正割函數的象限特性

正割函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，正割值為正，且隨著角度的增加從 1 增加到無窮大。
• 在第二象限，正割值為負，且隨著角度的增加從負無窮大增加到 -1。
• 在第三象限，正割值為負，且隨著角度的增加從 -1 遞減到負無窮大。
• 在第四象限，正割值為正，且隨著角度的增加從無窮大遞減到 1。

正割函數的其它計算

1. 正割的倒數（餘弦函數）

正割函數的倒數是餘弦函數（cosine，記作 \(\cos(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\sec(\theta)} = \cos(\theta) \) 當 \(\sec(\theta) = 0\) 時，餘弦函數無定義。

2. 正割的導數

正割函數的導數是正割函數和正切函數的乘積，即： \( \frac{d}{d\theta} \sec(\theta) = \sec(\theta) \tan(\theta) \) 這一性質在微積分中非常重要，尤其是在求解變化率時。

3. 正割的積分

正割函數的積分是對數函數： \( \int \sec(\theta) \, d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C \)

4. 反正割函數（arcsec）

反正割函數（arcsecant，記作 \(\text{arcsec}(x)\)）用於求解給定正割值對應的角度，即： \( \theta = \text{arcsec}(x) \) 其中 \(x\) 為正割值。

正割函數常用值表