正弦計算器

正弦函數的定義

正弦函數是三角函數中的基本函數之一，廣泛應用於數學、物理、工程等領域。它通常用 \(\sin(\theta)\) 來表示，其中 \(\theta\) 是一個角度，通常以弧度為單位。

在直角三角形中，正弦定義為某一銳角的對邊與斜邊之比。設 \(\theta\) 是直角三角形的銳角，對邊為 \(a\)，斜邊為 \(c\)，則正弦值為： \( \sin(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{a}{c} \)

正弦的幾何定義也可以通過單位圓來理解。單位圓是一個半徑為 1 的圓，圓心在座標原點。在單位圓中，給定一個角度 \(\theta\)，我們可以從原點到圓周的直線段形成一個角度 \(\theta\)，此時 \(\theta\) 對應點的縱座標即為正弦值： \( \sin(\theta) = y \) 其中 \(y\) 是圓周上與角度 \(\theta\) 對應點的 \(y\)-座標。

示例

例子 1：通過直角三角形計算正弦值

考慮一個直角三角形，其中角度 \(\theta = 30^\circ\)，對邊長度為 3，斜邊長度為 6。要計算正弦值，使用正弦公式： \( \sin(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{3}{6} = 0.5 \) 因此，角度 \(\theta = 30^\circ\) 的正弦值是 0.5。

例子 2：實際應用中的正弦值計算

假設在一個建築工程中，你站在一個高 50 米的塔樓頂端，觀察到地面上一點的角度為 \(45^\circ\)。要求你與地面上該點的距離。

根據正弦定義： \( \sin(45^\circ) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{50}{\text{斜邊}} \) 已知 \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)，代入後得： \( 0.707 = \frac{50}{\text{斜邊}} \) 解方程得： \( \text{斜邊} = \frac{50}{0.707} \approx 70.71 \, \text{米} \) 因此，你與地面該點的距離約為 70.71 米。

正弦圖形和屬性

正弦函數的圖形是一個周期性的波形，通常稱為“正弦波”。其函數圖形呈現連續的波動，曲線穿過原點，在 \([-1, 1]\) 之間變化，常用於描述各種周期性現象，如聲波、光波、電磁波等。圖形的特性包括：

• 周期性：正弦波的周期為 \(2\pi\)（即 360°），表示正弦函數每 \(2\pi\) 弧度重複一次：\(\sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta)\)

• 對稱性：正弦波是關於原點對稱的，具有奇偶性：\(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\)。
• 奇偶性：正弦函數是奇函數，即 \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\)。
• 單調性：正弦函數在每個周期的半段內是單調遞增或遞減的。比如在區間 \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 上，正弦值遞增；在區間 \([\frac{\pi}{2} \frac{3\pi}{2}]\) 上，正弦值遞減。
• 振幅：正弦波的最大值為 1，最小值為 -1，因此振幅為 1。
• 波峰與波谷：波峰位於 \(\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\)（最大值為1），波谷位於 \(\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\)（最小值為 -1），其中 \(n\) 為整數。
• 定義域和值域：正弦函數的定義域為所有實數 \(\mathbb{R}\)，值域為 \([-1, 1]\)。

正弦函數的象限特性

正弦函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，正弦值為正，且隨著角度的增加從 0 增加到 1。
• 在第二象限，正弦值依然為正，但隨著角度增加，正弦值從 1 減少到 0。
• 在第三象限，正弦值為負，隨著角度的增加，從 0 減少到 -1。
• 在第四象限，正弦值為負，且隨著角度的增加，正弦值從 -1 增加到 0。

正弦函數的其它計算

1. 正弦的倒數（餘割函數）

正弦函數的倒數是餘割函數（cosecant，記作 \(\csc(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\sin(\theta)} = \csc(\theta) \) 當 \(\sin(\theta) = 0\) 時，餘割函數無定義。

2. 正弦的導數（餘弦函數）

正弦函數的導數是餘弦函數： \( \frac{d}{d\theta} \sin(\theta) = \cos(\theta) \) 這在物理學中，特別是在描述簡諧運動（如彈簧、擺動等）時具有重要應用。

3. 正弦的積分

正弦函數的積分是餘弦函數： \( \int \sin(\theta) \, d\theta = -\cos(\theta) + C \) 積分可以用於計算面積或累積變化量，在工程學中也廣泛應用。

4. 反正弦函數（arcsin）

反正弦函數（arcsine，記作 \(\arcsin(x)\)）用於求出給定正弦值對應的角度。反正弦函數的定義域是 \([-1, 1]\)，值域是 \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，即： \( \theta = \arcsin(x) \) 其中 \(x\) 為正弦值。

正弦常用值表