連續倍數查找工具

輸入連續倍數的個數、基數與總和,快速計算出對應的連續倍數。

連續倍數查找

結果

如何查找連續倍數

假設連續倍數為 \( k \times x_1, k \times x_2, \dots, k \times x_n \),其中 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 組成一個公差為 1 的等差數列

已知條件:

  • 連續倍數的個數:\( n \)
  • 基數:\( k \)
  • 總和:\( S \)
  • 公差:\( d = 1 \)

推導過程:

總和公式: \( k \times (x_1 + x_2 + \dots + x_n) = S \) 即: \( x_1 + x_2 + \dots + x_n = \frac{S}{k} \) 由於 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 組成等差數列,利用等差數列的求和公式 \( \frac{n}{2} \times (x_1 + x_n) = \frac{S}{k} \) 即: \( x_1 + x_n = \frac{2S}{k \times n} \) 利用等差序列的第N項公式: \( x_n = x_1 + (n-1) \times d \),代入上述公式,得到: \( x_1 + (x_1 + (n-1) \times d) = \frac{2S}{k \times n} \) 化簡得: \( 2x_1 + (n-1) \times d = \frac{2S}{k \times n} \) 求解第一項 \( x_1 \) 的公式: \( x_1 = \frac{\frac{2S}{k \times n} - (n-1) \times d}{2} \) 因為是連續的倍數,所以 \( d = 1 \),化簡公式得到: \( x_1 = \frac{S}{k \times n} - \frac{(n-1)}{2} \) 一旦得到了 \( x_1 \),其他的倍數就可以按等差數列依次計算。

示例

例子 1:已知 8 的三個連續倍數的和為 888,求這三個連續倍數。

解答:

1. 計算 \( x_1 \):

\( x_1 = \frac{888}{8 \times 3} - \frac{3 - 1}{2} = 37 - 1 = 36 \)

2. 計算連續倍數:

\( 8 \times 36 = 288 \)

\( 8 \times 37 = 296 \)

\( 8 \times 38 = 304 \)

結果:這三個連續倍數是:288、296、304。

例子 2:若 11 的三個連續倍數的和為 363,計算這三個連續倍數。

解答:

1. 計算 \( x_1 \):

\( x_1 = \frac{363}{11 \times 3} - \frac{3 - 1}{2} = 11 - 1 = 10 \)

2. 計算連續倍數:

\( 11 \times 10 = 110 \)

\( 11 \times 11 = 121 \)

\( 11 \times 12 = 132 \)

結果:這三個連續倍數是:110、121、132。

例子 3:已知 6 的連續五個倍數的和為 2040,這五個連續倍數分別是多少?

解答:

1. 計算 \( x_1 \):

\( x_1 = \frac{2040}{6 \times 5} - \frac{5 - 1}{2} = 68 - 2 = 66 \)

2. 計算連續倍數:

\( 6 \times 66 = 396 \)

\( 6 \times 67 = 402 \)

\( 6 \times 68 = 408 \)

\( 6 \times 69 = 414 \)

\( 6 \times 70 = 420 \)

結果:這五個連續倍數是:396、402、408、414、420。