輸入平方和與連續數的個數，快速找到對應的連續數列（連續整數、連續奇數或連續偶數）。
通過平方和找到連續數列需要一定的推導和試探，通常我們使用平均法結合平方根法找到起始數，再通過試探法驗證。如果試探無解，則可以得出沒有滿足條件的連續數列。
找到起始數 \( a \) 的核心步驟是：
假設連續數的平方和 \( S_{\text{square}} \) 給定，且連續數的個數 \( n \) 已知。我們可以先假設所有的連續數是相等的，即這些連續數都等於同一個值（儘管實際並非如此），然後通過平方根的方法找到一個近似值，這個近似值通常會小於實際的起始數。
計算這些連續數的平均值 \( \bar{x} \)，其平方和與已知的平方和 \( S_{\text{square}} \) 相等，公式為： \( \bar{x}^2 \times n = S_{\text{square}} \) 從中可以解出： \( \bar{x} = \sqrt{\frac{S_{\text{square}}}{n}} \) 這個 \( \bar{x} \) 是一個近似的“平均數”，通常小於實際的起始數 \( a \)。
我們知道連續數是從 \( a \) 開始逐漸增大的，因此起始數 \( a \) 的近似值可以通過如下公式得到： \( a \approx \bar{x} - \frac{n-1}{2} \) 這個公式讓我們能快速找到起始數的大致範圍。
一旦得到了 \( a \) 的近似值，接下來就是驗證。我們可以通過將這個近似的 \( a \) 代入實際的數列公式中，計算連續數的平方和。如果得到的平方和與給定的平方和 \( S_{\text{square}} \) 相等，就找到了正確的起始數。如果不相等，可以通過微調 \( a \) 進行向下（減小起始數a）或向上（增加起始數a）試探。
如果向下或向上試探，計算的平方和小於或大於準確的平方和，那麼可以停止試探，繼續試探只會使得誤差越來越大，此時可以判定無解，即找不到滿足條件的連續數。
解答：
1. 計算平均數：
\( \bar{x} = \sqrt{\frac{2135}{7}} = \sqrt{305} \approx 17.46 \)
平均值約為17.46。
2. 找到起始奇數：
\( a \approx 17.46 - \frac{7-1}{2} = 17.46 - 3 = 14.46 \)
近似的起始數為14.46，取整數，起始數 \( a \approx 15 \)。
3. 驗證：
\( 15^2 + 17^2 + 19^2 + 21^2 + 23^2 + 25^2 + 27^2 = 225 + 289 + 361 + 441 + 529 + 625 + 729 = 3200 \)
明顯大於2135，因此我們減少起始數向下試探，嘗試 \( a = 13 \)。
4. 再次驗證：
\( 13^2 + 15^2 + 17^2 + 19^2 + 21^2 + 23^2 + 25^2 = 169 + 225 + 289 + 361 + 441 + 529 + 625 = 2639 \)
仍然大於2135，繼續減小起始數，嘗試 \( a = 11 \)。
5. 繼續驗證：
\( 11^2 + 13^2 + 15^2 + 17^2 + 19^2 + 21^2 + 23^2 = 121 + 169 + 225 + 289 + 361 + 441 + 529 = 2135 \)
這次剛好符合條件。因此，7個連續奇數是：11, 13, 15, 17, 19, 21, 23。
解答：
1. 計算平均數：
\( \bar{x} = \sqrt{\frac{3820}{6}} = \sqrt{636.67} \approx 25.22 \)
平均數約為25.22。
2. 找到起始偶數：
\( a \approx 25.22 - \frac{6-1}{2} = 25.22 - 2.5 = 22.72 \)
近似的起始數為22.72，取整數，起始數 \( a \approx 22 \)。
3. 驗證：
\( 22^2 + 24^2 + 26^2 + 28^2 + 30^2 + 32^2 = 484 + 576 + 676 + 784 + 900 + 1024 = 4444 \)
顯然大於3820，因此我們減小起始數，嘗試 \( a = 20 \)。
4. 再次驗證：
\( 20^2 + 22^2 + 24^2 + 26^2 + 28^2 + 30^2 = 400 + 484 + 576 + 676 + 784 + 900 = 3820 \)
這次剛好符合條件。因此，6個連續偶數是：20, 22, 24, 26, 28, 30。
解答：
1. 計算平均數：
\( \bar{x} = \sqrt{\frac{925}{2}} = \sqrt{462.5} \approx 21.51 \)
平均值為21.51。
2. 找到起始數：
\( a \approx 21.51 - \frac{2-1}{2} = 21.51 - 0.5 = 21.01 \)
取整數部分，起始數 \( a = 21 \)。
3. 驗證：
\( 21^2 + 22^2 = 441 + 484 = 925 \)
剛好滿足條件，因此這組數列為21和22。
解答：
1. 計算平均數：
\( \bar{x} = \sqrt{\frac{1060}{2}} = \sqrt{530} \approx 23.02 \)
平均值約為23.02。
2. 找到起始偶數：
\( a \approx 23.02 - \frac{2-1}{2} = 23.02 - 0.5 = 22.52 \)
取整數部分，起始數 \( a = 22 \)。
3. 驗證：
\( 22^2 + 24^2 = 484 + 576 = 1060 \)
剛好滿足條件，因此這組偶數為22和24。
解答：
1. 先計算平均數：
\( \bar{x} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
假設這兩個數的平均值為5。
2. 找出起始偶數的近似值：
\( a \approx 5 - \frac{2-1}{2} = 5 - 0.5 = 4.5 \)
取整數部分，起始數 \( a = 4 \)。
3. 驗證：
\( 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 \)
由於52大於50，可以試探減小 \( a \)，例如 \( a = 2 \)（偶數），繼續驗證。
4. 再次驗證：
\( 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \)
此時平方和小於50，因此可以確定無解。