正切計算器

正切的定義和公式

正切函數（Tangent function）是三角函數中的一種，常用於描述角度與直角三角形邊長的關係。它通常用符號 \(\tan(\theta)\) 表示，其中 \(\theta\) 是角度，通常以弧度為單位。

在直角三角形中，正切函數定義為角度 \(\theta\) 的 對邊與 鄰邊 之比，公式為： \( \tan(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} = \frac{a}{b} \) 即正切函數表示一個角度的垂直與水平分量之比。

在單位圓中，正切函數定義為單位圓上對應角度 \(\theta\) 的點的縱座標與橫座標的比值： \( \tan(\theta) = \frac{y}{x} \) 其中，\(x\) 和 \(y\) 是單位圓上與角度 \(\theta\) 對應點的橫縱座標。

示例

例子 1：通過直角三角形計算正切值

假設有一個直角三角形，其中一個銳角 \(\theta = 45^\circ\)，對邊的長度為 4，鄰邊的長度為 4，求這個角的正切值。

例子 2：實際應用中的正切值計算

假設你正在觀察一座 30 米高的塔樓，並且你與塔樓的水平距離為 40 米，要求你與塔樓之間的角度 \(\theta\)。

正切圖形和特性

正切函數的圖形呈現出周期性的波動，並且在每個周期中有豎直漸近線。正切圖形具有以下特性：

• 周期性：正切函數的周期為 \(\pi\)（即 180°），即每 \(\pi\) 弧度圖形重複一次。
• 單調性：正切函數在每個周期內是單調遞增的。
• 奇函數：正切函數是奇函數，即 \(\tan(-\theta) = -\tan(\theta)\)，這意味著正切函數關於原點對稱。
• 振幅：正切函數的振幅是無限的，正切值可以從負無窮大增長到正無窮大。
• 漸近線：在 \(\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi\) 處（其中 \(n\) 是整數），正切函數有豎直漸近線，即函數值趨向於無窮大或負無窮大。
• 定義域和值域：正切函數的定義域是所有角度 \(\theta\)（除了 \(\frac{\pi}{2} + n\pi\)），值域為 \(\mathbb{R}\)（所有實數）。

正切函數的象限特性（Quadrant Properties）

正切函數在不同象限中的符號和性質如下表所示：

• 在第一象限，正切值為正，且隨著角度的增加從 0 增加到正無窮大。
• 在第二象限，正切值為負，且隨著角度的增加從負無窮大增加到 0。
• 在第三象限，正切值為正，且隨著角度的增加從 0 增加到正無窮大。
• 在第四象限，正切值為負，且隨著角度的增加從負無窮大增加到 0。

正切的其它計算

1. 正切的倒數（餘切函數）

正切函數的倒數是餘切函數（cotangent，記作 \(\cot(\theta)\)），定義為： \( \frac{1}{\tan(\theta)} = \cot(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{對邊}} \) 當 \(\tan(\theta) = 0\) 時，餘切函數無定義。

2. 正切的導數

正切函數的導數是正割函數的平方，即： \( \frac{d}{d\theta} \tan(\theta) = \sec^2(\theta) \) 這一性質在微積分中非常重要，尤其是在解析函數變化率時。

3. 正切的積分

正切函數的積分是對數函數： \( \int \tan(\theta) \, d\theta = -\ln|\cos(\theta)| + C \) 這一積分常常出現在物理學中的振動、波動分析等應用中。

4. 反正切函數（arctan）

反正切函數（arctangent，記作 \(\arctan(x)\)）用於求解給定正切值對應的角度。反正切函數的定義域為所有實數，值域為 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)，即： \( \theta = \arctan(x) \) 其中 \(x\) 為正切值。

正切常用值表