什么是贝尔数？
贝尔数是指在组合数学中，表示将 \( n \) 个元素划分为若干个非空子集的方式总数。第 \( n \) 个贝尔数用 \( B(n) \) 表示，贝尔数在组合和数论中有着重要的应用。
贝尔数的计算
贝尔数可以通过递归关系或直接计算其值。贝尔数的计算公式为：
\( B(0) = 1 \)
对于 \( n \geq 1 \)，有以下递推关系：
\( B(n) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} B(k) \)
其中，\( \binom{n-1}{k} \) 是二项式系数，表示从 n - 1 个元素中选择 k 个元素的组合数。
示例
例子 1：计算贝尔数 8 有多少种方法？
解答：
计算 \( B(8) \)
\( B(8) = 877 \)
共有 877 种方法。
例子 2：将 10 个元素的集合分成子集共有多少种分法？
解答：
计算 \( B(10) \)
\( B(10) = 115975 \)
共有 115975 种方法。
贝尔数的前 30 项
- B(0) = 1
- B(1) = 1
- B(2) = 2
- B(3) = 5
- B(4) = 15
- B(5) = 52
- B(6) = 203
- B(7) = 877
- B(8) = 4140
- B(9) = 21147
- B(10) = 115975
- B(11) = 678570
- B(12) = 4213597
- B(13) = 27644437
- B(14) = 190899322
- B(15) = 1382958545
- B(16) = 10480142147
- B(17) = 82864869804
- B(18) = 682076806159
- B(19) = 5832742205057
- B(20) = 51724158235372
- B(21) = 474869816156751
- B(22) = 4506715738447323
- B(23) = 44152005855084346
- B(24) = 445958869294805289
- B(25) = 4638590332229999353
- B(26) = 49631246523618756274
- B(27) = 545717047936059989389
- B(28) = 6160539404599934652455
- B(29) = 71339801938860275191172