梅森数计算器

输入一个数字,判断是否为梅森数;输入起止范围生成范围内所有梅森数。

梅森数判断或生成

什么是梅森数?

梅森数又称麦森数,是形如 \(M_n = 2^n - 1\) 的数,其中 \(n\) 是正整数。梅森数以法国数学家马赛尔·梅森(Marin Mersenne)的名字命名,梅森数在数论和密码学中有重要的应用。

如何判断一个数是否为梅森数?

判断公式

一个数 \(x\) 是梅森数当且仅当存在一个正整数 \(n\),使得 \(x = 2^n - 1\)。

计算步骤

  1. 对于给定的数字 \(x\),首先加1,得到 \(x + 1\)。
  2. 然后检查 \(x + 1\) 是否为2的幂,即检查 \(x + 1\) 是否可以表示为 \(2^n\) 的形式。

示例

例子 1:判断 31 是否为梅森数

解答:

31 + 1 = 32

32 = \(2^5\)(32 是 2 的幂)

因此,31 是梅森数。

例子 2:判断 255 是否为梅森数

解答:

255 + 1 = 256

256 是 2 的幂(\(2^8 = 256\)

所以,255 是梅森数。

例子 3:判断 10 是否为梅森数

解答:

10 + 1 = 11

11 不是 2 的幂(\(2^3 = 8\),\(2^4 = 16\))

因此,10 不是梅森数。