如何根据两个数的差与倒数差计算
假设两个数为 \( x \) 和 \( y \)，已知它们的差 \( D \) 和倒数差 \( R \)。
-
初始公式如下：
两数之差：\( x - y = D \)
倒数差：\(\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = R\)
-
展开倒数差公式：
\( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy} \)
因此可以写为：
\( R = \frac{D}{xy} \)
-
解出 \(xy\)：
\( xy = \frac{D}{R} \)
-
根据完全平方公式，计算 \( x + y \)：
\( (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy \)
将已知的 \( x - y = D \) 和 \( xy = \frac{D}{R} \) 代入，得到：
\( x + y = \sqrt{D^2 + 4 \cdot \frac{D}{R}} \)
-
利用和差公式，求解 \(x\) 和 \(y\)：
\( x = \frac{(x + y) + (x - y)}{2} = \frac{(x + y + D)}{2} \)
\( y = \frac{(x + y) - (x - y)}{2} = \frac{(x + y - D)}{2} \)
示例
例子 1：已知两个数的差为 4，倒数差为 \( \frac{4}{21} \)，求这两个数。
解答：
1. 计算 \(xy\)：
\( xy = \frac{D}{R} = \frac{4}{\frac{4}{21}} = 21 \)
2. 计算 \(x + y\)：
\( x + y = \sqrt{D^2 + 4 \cdot xy} = \sqrt{4^2 + 4 \cdot 21} = \sqrt{16 + 84} = \sqrt{100} = 10 \)
3. 求解 \(x\) 和 \(y\)：
\( x = \frac{10 + 4}{2} = 7 \)
\( y = \frac{10 - 4}{2} = 3 \)
结果：这两个数是 7 和 3。
例子 2：已知两个数的差为 5，倒数差为 \( \frac{1}{10} \)，求这两个数。
解答：
1. 计算 \(xy\)：
\( xy = \frac{D}{R} = \frac{5}{\frac{1}{10}} = 50 \)
2. 计算 \(x + y\)：
\( x + y = \sqrt{D^2 + 4 \cdot xy} = \sqrt{5^2 + 4 \cdot 50} = \sqrt{25 + 200} = \sqrt{225} = 15 \)
3. 求解 \(x\) 和 \(y\)：
\( x = \frac{15 + 5}{2} = 10 \)
\( y = \frac{15 - 5}{2} = 5 \)
结果：这两个数是 10 和 5。